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利用马尔可夫链模型计算运二跑圈收益

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关于刷取建议的太长不看版:



在兑换完商店中必换的物品(神名精髓,蓝金紫BD、书、素材,礼物等)后,“刷任务12获得运动饮料,去跑圈”与“刷任务10获得红豆面包,去商店换强化石”两者之间的取舍,依据不同的加成比例分为四种方案。各位老师依据下图选择自己合适的方案:





圈数可在跑圈模式左上方的“完赛奖励”处看到,掷骰次数可在活动任务——成就奖励的进度处看到。

 PS:对于刷任务1~8关的老师,最好先预估一下自己运二能使用的体力,如果体力充裕到——1.既能将商店必换的物品换好;2.又能跑完50圈(期望的掷骰数为237);3.还能换完商店的强化石,请使用方案A来安排刷取方案。(主要是没剩什么可刷的了) 

正文



马尔可夫链(Markov Chain, MC)是概率论和数理统计中具有马尔可夫性质(Markov property)且存在于离散的指数集(index set)和状态空间(state space)内的随机过程(stochastic process)。

1906年,马尔可夫在论文《大数定律关于相依变量的扩展》中第一次提到这种如同锁链般环环相扣的随机变量序列,其特点是:当一些随机变量依次被观测时,随机变量的分布仅仅依赖于前一个被观测的随机变量,而不依赖于更前面的随机变量,这就是被后人称作马尔可夫链的著名概率模型。

可以看出,运二跑圈这种“大富翁”模式,是典型的马尔可夫链模型(掷骰后位置分布仅依赖于掷骰前位置及掷骰点数的概率),且状态空间有限(共18个点位,将+1、+2、+3三个点位与各自前进步数后到达点位合并,共计15个点位)。故可使用马尔可夫链模型中的转移矩阵来计算。



获得物品期望

计算公式为

,其中Sn为掷骰n次后各位置的分布概率,S0为初始状态的分布概率,即为(1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0),P为转移矩阵,第i行表示掷骰前位置为i时,掷骰后取所有可能状态的概率。例如掷骰前在出发点,掷1到神名精髓、掷2到金强化石6……故掷1到掷6的结果概率均为六分之一;掷骰前在金强化石6(第三格),掷2和掷5均到达500K信用点处,故到达该处的概率为三分之一……以此类推,得出P为:





通过计算可以发现,当n到达100左右时,Sn的小数点后9位不再变化,n到达170左右时,Sn的小数点后18位不再变化,S稳定为:

(0.107077862, 0.056941052, 0.05590447, 0.05577741, 0.055557744, 0.055209756, 0.102122816, 0.054095366, 0.053793849, 0.10692651, 0.062024716, 0.063160543, 0.056666831, 0.057095408, 0.057645668)





每次掷骰获得物品期望为:0.174175524神名精髓+ 0.665141946金强化石+ 0.888691586金报告书+ 160.0602211K信用点,后三者换算成满加成运动饮料(110%),相当于1.613677813特K。



圈数期望

P左下方非0部分,即为各位置跑到或跑过起始点,圈数+1的概率,换算成矩阵T:





计算公式

,其中Xn为第n掷时圈数+1的概率,即第n掷增加圈数的期望。

如上文所述当S稳定后,X=S×T=0.213079323

另外,计算掷骰n次后累计圈数可以得出:n=190,圈数期望40(拿满青辉石奖励);n=200(拿300K信用点奖励),圈数期望42(拿2000K信用点奖励);n=218,圈数期望46(拿2000K信用点奖励);n=237,圈数期望50(拿满信用点奖励)

圈数建议:

鉴于各位老师的运动饮料与红豆面包的加成比例各有不同,这里按所有一二星角色以及运一二活动赠送角色都有来考虑,计算不同方案换算成特K的比例:









结果如文章开头所示。



运算文件(EXCEL文件)

链接:https://pan.baidu.com/s/10tntEZFAMiGaAwiAr6xx-A 

提取码:ext5







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